◦ 먼저 수험생이 선택한 응시 유형의 문제지인지 확인하시오.

2012년 4월 월례 모의 대학수학능력시험 문제지

수학 영역(가형)

성 명			수험번호

제 2 교시

◦ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

◦ 답안지에 수험 번호, 응시 유형 및 답을 표기할 때는 반드시

‘수험생이 지켜야 할 일’에 따라 표기하시오.

◦ 단답형 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 OMR 답안지에

반드시 표기해야 합니다.

◦ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고

하시오. 배점은 2점, 3점 또는 4점입니다.

◦ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

[eqn: 6^{ { 2} over { 3} } times 2^{1 over3} times 3 ^{- 2 over3}``]의 값은?

[정답] ④

[eqn: 6^{ { 2} over { 3} } times 2^{1 over3} times 3 ^{- 2 over3}``=2^{ { 2} over { 3} } times 3^{ { 2} over { 3} } times2^{1 over3} times 3 ^{- 2 over3}``]

[eqn: =2^{ { 2} over { 3}+ 1 over3 } times 3^{ { 2} over { 3} - 2 over3 } ``]

[eqn: =2^1 times 3^0 =2``]

[2점][2012년 4월 대성월례]

① [eqn: 1 over3``]	② [eqn: 1 over2``]	③ [eqn: 1``]

④ [eqn: 2``]	⑤ [eqn: 3``]

``[eqn: lim _{ x->- inf} { } LEFT ( 1- 1 over2x RIGHT )^3x``]의 값은?

[정답] ②

주어진 식에서 [eqn: -x=t``]로 놓으면 [eqn: x -> - inf``]일 때, [eqn: t->inf``]이므로

[eqn: lim _{ x->- inf} { } LEFT ( 1- 1 over2x RIGHT )^3x`=lim _{ t-> inf} { } LEFT ( 1+ 1 over2t RIGHT )^-3t``]

[eqn: =lim _{ t-> inf} { } LEFT { left( 1+ 1 over2t RIGHT )^2t right}^{- 3 over2}``]

[eqn: =][eqn: e ^{- 3 over2}``]

[2점][2012년 4월 대성월례]

① [eqn: e^-2``]	② [eqn: e ^{- 3 over2}``]	③ [eqn: e^-1``]

④ [eqn: e ^{ 3 over2}``]	⑤ [eqn: e^2``]

확률변수 [eqn: X``]가 이항분포 [eqn: rmB}(100,``itp)``]를 따르고 [eqn: X``]의 평균이 [eqn: 20``]일 때, [eqn: X``]의 분산은?

[정답] ⑤

확률변수 [eqn: X``]가 이항분포 [eqn: rmB}(100,``itp)``]를 따를 때,

[eqn: rmE LEFT ( itX RIGHT )=20=100 times p``]	[eqn: THEREFORE``p = 1 over5``]

[eqn: THEREFORE rmV LEFT ( itX RIGHT )=100 times 1 over5 times 4 over5 =16``]

[2점][2012년 4월 대성월례]

① [eqn: 8``]	② [eqn: 10``]	③ [eqn: 12``]

④ [eqn: 14``]	⑤ [eqn: 16``]

부등식 [eqn: { x-1} over {4-x }>1``]을 만족시키는 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여
[eqn: x^2 -6x +k<0``]이 항상 성립하도록 하는 실수 [eqn: k``]의 최댓값은?

[정답] ⑤

[eqn: { x-1} over {4-x }>1``]

[eqn: { x-1} over {4-x } -1>0` `LRARROW```{ 2x-5} over {4-x }>0``]

[eqn: LRARROW```{ 2x-5} over {x-4 }<0``]

[eqn: LRARROW```( 2x-5) (x-4)<0``]

[eqn: THEREFORE`` 5 over2 <x<4``]

[eqn: f(x)=x^2 -6x +k``]라 할 때, [eqn: f(x)<0``]이 항상 성립하려면 오른쪽 그림에서

[eqn: f(4)=16-24+k LE0``]

[eqn: THEREFORE``k LE8``]

따라서 구하는 실수 [eqn: k``]의 최댓값은 [eqn: 8``]이다.

[3점][2012년 4월 대성월례]

① [eqn: 3``]	② [eqn: 15 over4``]	③ [eqn: 6``]

④ [eqn: 25 over4``]	⑤ [eqn: 8``]

같은 종류의 과자 [eqn: 12``]개를 [eqn: rmA,``B,``C``][eqn: 3``]명의 어린이에게 모두 나누어 주려고 한다. 모든 어린이에게 [eqn: 1``]개 이상의 과자를 나누어 주는 방법의 수는?(단, 과자는 서로 구별하지 않는다.)

[정답]

⑤

[eqn: rmA,``B,``C``][eqn: 3``]명의 어린이가 받는 과자의 수를 각각 [eqn: a,``b,``c``]라 하면

[eqn: a+b+c=12``]	……㉠

이때 [eqn: a GE1,``b GE1,``c GE1``]이므로 [eqn: a= a prime`+1,``b= b prime`+1,``][eqn: c= c prime`+1``]로 놓고 ㉠에 대입하면

[eqn: a prime +b prime +c prime=9``]

따라서 구하는 방법의 수는 방정식 [eqn: a prime +b prime +c prime=9``]의 음이 아닌 정수해의 개수와 같으므로 [eqn: a prime ,``b prime ,``c prime``]에서 중복을 허락하여 [eqn: 9``]개를 택하는 중복조합의 수와 같다.

[eqn: THEREFORE` _3 rmH _9 = _3+9-1 rmC _9 = _11 C _9 = _11 C _2``]

[eqn: ={ 11 times 10} over { 2 times 1}=55``](가지)

[3점][2012년 4월 대성월례]

① [eqn: 51``]	② [eqn: 52``]	③ [eqn: 53``]

④ [eqn: 54``]	⑤ [eqn: 55``]

좌표평면에서 행렬 [eqn: {pmatrix{k&&0#0&&k}}] [eqn: LEFT ( `k>1` RIGHT ) ``]로 나타내어지는 일차변환에 의하여 세 점 [eqn: rmA LEFT ( 4,~0 RIGHT ) ,] [eqn: rmB LEFT ( 4,~4 RIGHT ) ,] [eqn: rmC LEFT ( 0,~4 RIGHT ) ``]가 옮겨진 점을 각각 [eqn: rmA',~B',~C'``]이라 하자. 삼각형 [eqn: rmABC``]의 내부와 삼각형 [eqn: rmA'B'C'``]의 내부의 공통부분의 넓이가 [eqn: 2``]일 때, [eqn: k``]의 값은?

[정답] ①

두 점 [eqn: rmA' LEFT ( it4k,~0 RIGHT ) ,] [eqn: rm C prime it LEFT ( 0,~4k RIGHT ) ``]이므로 직선 [eqn: rmA'C'``]의 방정식은

[eqn: x+4y=4k]

위의 그림에서 [eqn: rmBAR{AB}``]와 [eqn: rmBAR{A'C'}``]의 교점을 [eqn: rmD``]라 하면

[eqn: rm D it LEFT ( 4,~4k-4 RIGHT )]

이때 [eqn: rm bar{BD} = it 4- LEFT ( 4k-4 RIGHT ) =8-4k] [eqn: LEFT ( `k<2` RIGHT ) ``]이고, 삼각형 [eqn: rmABC``]의 내부와 삼각형 [eqn: rmA'B'C'``]의 내부의 공통부분의 넓이가 [eqn: 2``]이므로

[eqn: {1} over {2} times LEFT ( 8-4k RIGHT ) ^{2} =2`,]	[eqn: LEFT ( 8-4k RIGHT ) ^{2} =4]

[eqn: 16k ^{2} -64k+60=0`,]	[eqn: 4k ^{2} -16k+15=0]

[eqn: LEFT ( 2k-3 RIGHT ) LEFT ( 2k-5 RIGHT ) =0]

[eqn: therefore~k= {3} over {2}] [eqn: LEFT ( because~1<k<2 RIGHT )]

[3점][2012년 4월 대성월례]

① [eqn: {3} over {2}]	② [eqn: {5} over {3}]	③ [eqn: {7} over {4}]

④ [eqn: {9} over {5}]	⑤ [eqn: {11} over {6}]

어느 도시의 [eqn: t``]년도에 등록된 자동차 댓수를 [eqn: P LEFT ( t RIGHT ) times10 ^{5} ``](대)이라 하면
[eqn: P LEFT ( t RIGHT ) =5times2 ^{{t-2003} over {9}}]
인 관계가 성립한다고 한다. 이 도시에서 [eqn: 2012``]년도에 등록된 자동차 댓수의 [eqn: 2``]배가 등록되는 해는?

[정답] ③

어느 도시의 [eqn: t``]년도에 등록된 자동차 댓수가

[eqn: P` LEFT ( t RIGHT ) times10 ^{5} =5times2 ^{{t-2003} over {9}} times10 ^{5} ``]이므로 [eqn: 2012``]년도에 등록된 자동차 댓수는

[eqn: P` LEFT ( 2012 RIGHT ) times10 ^{5} =5times2 ^{{2012-2003} over {9}} times10 ^{5} =10times10 ^{5}``]

이때 이 도시의 [eqn: 2012``]년도에 등록된 자동차 댓수의 [eqn: 2``]배가 되는 해를 [eqn: x``]년이라 하면

[eqn: 2times10times10 ^{5} =5times2 ^{{x-2003} over {9}} times10 ^{5}]

[eqn: 2 ^{{x-2003} over {9}} =4=2 ^{2}]

[eqn: {x-2003} over {9} =2]	[eqn: therefore~x=2021``](년)

수학 영역

[3점][2012년 4월 대성월례]

① [eqn: 2017``]년	② [eqn: 2019``]년	③ [eqn: 2021``]년

④ [eqn: 2023``]년	⑤ [eqn: 2025``]년

삼각형 [eqn: rmABC``]에서 [eqn: rmBAR{AB}=3`,~angleACB=90DEG`]이다. 점 [eqn: rmP``]가
[eqn: rmVEC{PA}+2VEC{PB}=VEC{0}`,]	[eqn: rmVEC{AB}BULLETVEC{PC}=0]
을 만족시킬 때, [eqn: cos`A``]의 값은?

[정답] ④

[eqn: rmVEC{PA}=-2VEC{PB}``]이므로 점 [eqn: rmP``]는 선분 [eqn: rmAB``]를 [eqn: 2``:``1``]로 내분하는 점이다.

조건에서 [eqn: rmBAR{AB}=3``]이므로 [eqn: rmBAR{AP}=2,~BAR{PB}=1``]이다.

한편, 위의 그림에서 [eqn: rmangleACB=90DEG`]이므로 점 [eqn: rmC``]는 선분 [eqn: rmAB``]를 지름으로 하는 원 위의 점이며, [eqn: rmVEC{AB}BULLETVEC{PC}=0``]이므로 점 [eqn: rmP``]를 지나고 선분 [eqn: rmAB``]와 수직인 직선 위의 점이다.

따라서 점 [eqn: rmC``]는 선분 [eqn: rmAB``]를 지름으로 하는 원과 직선의 교점이다.

이때 [eqn: rmBAR{AC}=itx``]라 하면 [eqn: cos`A= {x} over {3} = {2} over {x} ``]이므로

[eqn: x ^{2} =6]	[eqn: therefore~x= sqrt {6}]

[eqn: therefore~cos`A= {sqrt {6}} over {3}]

[4점][2012년 4월 대성월례]

① [eqn: {sqrt {2}} over {3}]	② [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: {sqrt {5}} over {3}]

④ [eqn: {sqrt {6}} over {3}]	⑤ [eqn: {2 sqrt {2}} over {3}]

전국의 조기축구 동호회의 구성원 수는 표준편차가 [eqn: 12``]명인 정규분포를 따른다고 한다. 전국의 조기축구 동호회 중에서 임의로 [eqn: 16``]개를 택하여 구성원 수를 조사하였더니 평균이 [eqn: 30``]명이었다. 이 사실로부터 전국 조기축구 동호회의 평균 구성원 수를 신뢰도 [eqn: 95`%``]로 추정한 신뢰구간에 포함되는 모든 정수의 합은? (단, [eqn: Z``]가 표준정규분포를 따를 때, [eqn: rmP` LEFT ( `0LEQZ LEQ 1.96` RIGHT ) =0.4750``]으로 계산한다.)

[정답] ⑤

전국의 조기축구 동호회의 구성원 수의 평균을 [eqn: m``]이라 하자.

모표준편차가 [eqn: 12``]이고, 크기가 [eqn: 16``]인 표본의 표본평균이 [eqn: 30``]이므로 전국의 조기축구 동호회의 평균 구성원 수를 신뢰도 [eqn: 95`%``]로 추정하면

[eqn: 30-1.96times {12} over {sqrt {16}} LEQm LEQ 30+1.96times {12} over {sqrt {16}}]

[eqn: therefore~24.12LEQm LEQ 35.88]

따라서 신뢰구간에 속하는 정수는 [eqn: 25,~26,~CDOTS`,~35``]이고 그 합은

[eqn: {11 LEFT ( 25+35 RIGHT )} over {2} =330]

[3점][2012년 4월 대성월례]

① [eqn: 271]	② [eqn: 285]	③ [eqn: 295]

④ [eqn: 310]	⑤ [eqn: 330]

행렬 [eqn: {pmatrix{1&&2#3&&0}} ``]이 나타내는 일차변환 [eqn: f``]에 의하여 직선 [eqn: y=mx``]가 자기 자신으로 옮겨질 때, 모든 상수 [eqn: m``]의 값의 합은?

[정답] ②

직선 [eqn: y=mx] 위의 임의의 점을 [eqn: LEFT ( t,~mt RIGHT )] ([eqn: t``]는 실수)라 하면

[eqn: {pmatrix{1&&2#3&&0}} {pmatrix{t#mt}} = {pmatrix{LEFT ( 1+2m RIGHT ) t#3t}}]

이때 점 [eqn: LEFT ( LEFT ( 1+2m RIGHT ) t`,~3t RIGHT ) ``]는 직선 [eqn: y=mx] 위의 점이므로

[eqn: 3t=m LEFT ( 1+2m RIGHT ) t]

[eqn: therefore~ LEFT ( 2m ^{2} +m-3 RIGHT ) t=0]

위 식은 [eqn: t``]에 대한 항등식이므로

[eqn: 2m ^{2} +m-3=0]

따라서 구하는 모든 상수 [eqn: m``]의 값의 합은 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 [eqn: - {1} over {2} ``]이다.

[3점][2012년 4월 대성월례]

① [eqn: -2]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: 2]

한 변의 길이가 [eqn: 3]인 마름모 [eqn: rmABCD]에 대하여 대각선 [eqn: rmBD]를 장축으로 하고, 대각선 [eqn: rmAC]를 단축으로 하는 타원의 두 초점을 [eqn: rmF,~F']이라 하자. 사각형 [eqn: rmAFCF']이 정사각형이 될 때, 마름모 [eqn: rmABCD]의 넓이는?

[정답] ③

마름모 [eqn: rmABCD]의 두 대각선 [eqn: rmAC]와 [eqn: rmBD]의 교점을 [eqn: rmO]라 할 때, [eqn: { rm bar OA } =a,~ { rm bar OB } = b]라 하자.

사각형 [eqn: rmAFCF']이 정사각형이므로 [eqn: rm { bar OA }= bar OF = it a]이다.

따라서 [eqn: b^2 = a^2 + a^2 = 2a^2]이므로

[eqn: b= sqrt 2 a]  [eqn: cdotscdots]㉠

한편, 마름모의 한 변의 길이가 [eqn: 3]이므로

[eqn: a^2 + b^2 =9]  [eqn: cdotscdots]㉡

㉠을 ㉡에 대입하여 정리하면

[eqn: a^2 + 2a^2 = 3a^2 =9]  ∴ [eqn: a^2 = 3]

따라서 구하는 마름모 [eqn: rmABCD]의 넓이는

[eqn: rm 1 over 2 rm bar AC cdot bar BD =it 1 over 2 cdot 2a cdot 2b = 2ab]

[eqn: = 2 sqrt 2 a^2 = 2 sqrt 2 cdot 3 = 6 sqrt 2]

[3점][2012년 4월 대성월례]

① [eqn: 3 sqrt 2]	② [eqn: 3 sqrt 3]	③ [eqn: 6 sqrt 2]

④ [eqn: 6 sqrt 3]	⑤ [eqn: 9 sqrt 2]

이차함수 [eqn: y=f(x)]와 삼차함수 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 그림과 같을 때, 다음 중 부등식 [eqn: {x f(x)} over g(x)} ge 0]의 해집합의 원소가 아닌 것은?

[정답] ④

[eqn: {x`f `(x) } over g(x) ge 0``]에서

[eqn: x f(x) g(x) ge 0]이고 [eqn: g(x) ne 0]

∴ [eqn: x< -3 ,~ -3< x le 0,~ 1< x le 3 ,~ x > 5]

따라서 주어진 부등식의 해집합의 원소가 아닌 것은 ④이다.

[3점][2012년 4월 대성월례]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6]

세 팀 [eqn: rmA,~B,~C]가 참가한 농구 대회에서 한 팀은 바로 결승전에 진출하고 나머지 두 팀이 예선전을 치르려고 한다. 각 팀의 주장 [eqn: 3]명이 가위, 바위, 보를 하여 [eqn: 3]명 중 [eqn: 1]명만 다르게 낼 때, 다르게 낸 [eqn: 1]명이 속한 팀이 결승전에 진출하기로 하였다. 한 번의 가위, 바위, 보를 결승전에 진출한 팀이 결정될 확률은?

[정답] ⑤

세 팀 [eqn: rmA,~B,~C]의 주장 [eqn: 3]명이 가위, 바위, 보를 하여 나오는 모든 경우의 수는

[eqn: 3 times 3 times 3 = 27](가지)

[eqn: rmA]팀이 결승에 진출하는 경우는 다음 표와 같이 [eqn: 6]가지이다.

[eqn: rmA]	[eqn: rmB]	[eqn: rmC]
가위	바위	바위
	보	보
바위	가위	가위
	보	보
보	가위	가위
	바위	바위

같은 방법으로 두 팀 [eqn: rmB,~C]가 결승에 진출하는 경우도 [eqn: 6]가지씩이므로 결승에 진출할 한 팀이 결정될 확률은

[eqn: 18 over 27 = 2 over 3]

[3점][2012년 4월 대성월례]

① [eqn: 2 over 9]	② [eqn: 1 over 3]	③ [eqn: 4 over 9]	④ [eqn: 5 over 9]	⑤ [eqn: 2 over 3]

반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: O_1]이 있다. 그림과 같이 원 [eqn: O_1]에 내접하고 반지름의 길이가 같은 네 개의 원이 서로 접하도록 하여 얻은 그림을 [eqn: O_2]라 하자. 그림 [eqn: O_2]에서 새로 그려진 각각의 원에 내접하고 반지름의 길이가 같은 네 개의 원이 서로 접하도록 하여 얻은 그림을 [eqn: O_3]이라 하자.

[정답] ⑤

아래 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: r]인 원에 내접하고 반지름의 길이가 같은 네 개의 원이 서로 접할 때, 작은 원의 반지름의 길이를 [eqn: x]라 하면

[eqn: 2x+ 2 sqrt 2 x = 2 r]

∴ [eqn: x= 1 over { sqrt 2 +1 } r]

그림 [eqn: O_n]에서 바깥 원과 내부의 모든 원의 넓이의 합 [eqn: S_n]은 바깥 원의 반지름의 길이가 [eqn: 1]이므로 첫째항이 [eqn: pi], 공비가 [eqn: 4left( 1 over { sqrt 2 +1 } right )^2]인 무한등비급수이다.

∴ [eqn: lim _{ n rarrow inf} { }S_n = pi cdot 1^2 + 4 cdot pi left( 1 over { sqrt 2 +1 } right )^2 + 4^2 cdot pi left( 1 over { sqrt 2 +1 } right )^4 + cdots]

[eqn: = pi over { 1 - 4 over { 3 + 2 sqrt 2 }} = {11 + 8 sqrt 2 } over 7 pi]

이와 같은 과정을 계속하여 얻은 [eqn: n]번째 그림 [eqn: O_{n]에서 바깥 원과 내부의 모든 원의 넓이의 합을 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim _{ n rarrow inf} { }S_n]의 값은?

[3점][2012년 4월 대성월례]

① [eqn: {11- sqrt 2 } over 7 pi]	② [eqn: {11+ sqrt 2 } over 7 pi]	③ [eqn: {11+ 2sqrt 2 } over 7 pi]	④ [eqn: {11+ 4sqrt 2 } over 7 pi]	⑤ [eqn: {11+ 8sqrt 2 } over 7 pi]

이차정사각행렬 [eqn: A= pmatrix{-2&& 1 #-3&&1 }]에 대하여
[eqn: A^n = a_n A + b_n E] ([eqn: n=1,~2,~3,~cdots])
라 할 때, 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

[eqn: A= pmatrix{-2&& 1 #-3&&1 }]에 대하여 [eqn: A^2 +A + E =O]이므로

[eqn: A^3 =E]

ㄱ. [eqn: A^ 9 = (A^3 )^ 3 = E^3 = E]이므로 [eqn: a_9 = 0] (참)

ㄴ. [eqn: A^100 =(A^3 )^33 A = A = a_100 A + b_100 E]

즉, [eqn: a_100 =1,~ b_100 =0]이므로

[eqn: a_100 + b_100 =1] (참)

ㄷ. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: A^ n+3 = A^n]이고,

[eqn: A= 1 cdot A+ 0 cdot E]

[eqn: A^2 = (-1) cdot A + (-1) cdot E]

[eqn: A^3 = 0 cdot A + 1 cdot E]

이므로 [eqn: sum _{ n=1} ^{ 200}a_n =0,~ sum _{ n=1} ^{ 200}b_n =-1]

∴ [eqn: sum _{ n=1} ^{ 200 }a_n - sum _{ n=1} ^{ 200}b_n =1``] (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

(단, [eqn: E]의 단위행렬이다.)

[4점][2012년 4월 대성월례]

[보 기]

ㄱ. [eqn: a_9 =0]

ㄴ. [eqn: a_100 + b_100 =1]

ㄷ. [eqn: sum _{ n=1} ^{200 }a_n - sum _{ n=1} ^{ 200}b_n =1]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ	④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림에서 두 곡선 [eqn: y=2 e^x `], [eqn: y=x e^x ``]과 [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분 [eqn: A ``]의 넓이를 [eqn: a`], 두 곡선 [eqn: y=2 e^x `], [eqn: y=x e^x ``]과 직선 [eqn: x=3 ``]으로 둘러싸인 부분 [eqn: B ``]의 넓이를 [eqn: b`]라 할 때, [eqn: b-a `]의 값은?

[정답] ②

아래 그림에서 두 곡선의 교점을 찾으면

[eqn: x e^x = 2 e^ x `]에서

[eqn: (x-2) e^x = 0 ``]   [eqn: THEREFORE x=2]

[eqn: A`]의 넓이 [eqn: a`]는

[eqn: a = int _{0 } ^{2 } { (2e^x - x e^x )dx} ``]

[eqn: = int _{0 } ^{2 } { (2-x) e^x dx} ``]

[eqn: = LEFT [ `(2-x) e^x ` right ] _{0} ^{2} + int _{0 } ^{2 } {e^x dx } ``]

[eqn: = (-2) + e^2 - 1 = e^2 -3 ``]

[eqn: B`]의 넓이 [eqn: b`]는

[eqn: b = int _{2} ^{3 } { (x e^x -2e^x )dx} ``]

[eqn: = int _{2 } ^{3 } { (x-2) e^x dx} ``]

[eqn: = LEFT [ `(x-2) e^x ` right ] _{2} ^{3} + int _{2 } ^{3 } {e^x dx } ``]

[eqn: = (e^3 ) - (e^3 - e^2 ) = e^2 ``]

[eqn: THEREFORE b-a = e^2 - (e^2 - 3) = 3]

[4점][2012년 4월 대성 월례]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: e^2 -1]	⑤ [eqn: e^2]

수열 [eqn: left{a_n right} ``]이 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여
[eqn: a_1 + 2a_2 + 3a_3 + cdots + n a_n = {n+1} over {n+2} ``]
을 만족시킨다. 다음은 수열 [eqn: left{a_n right} ``]의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합 [eqn: S_n `]을 구하는 과정이다.

[정답] ③

[eqn: na_n = b_n ``]이라 하면

[eqn: b_1 + b_2 + b_3 + cdots + b_n = {n+1} over {n+2} ``]

이므로 [eqn: n=1`]이면 [eqn: b_1 = a_1 = 2over3 ``]

또한 [eqn: n ge 2 ``]일 때

[eqn: n a_n = b_n = ( b_1 + b_2 + b_3 + cdots + b_n ) - ( b_1 + b_2 + b_3 + cdots + b_n-1 ) ``]

[eqn: = {n+1} over { n+2} - n over { n+1 } ``]

[eqn: = {(n+1)^2 - n(n+2) } over { (n+1)( n+2) } ``]

[eqn: = 1 over {(n+1)(n+2)} ``]

[eqn: THEREFORE a_n = 1 over {n(n+1)(n+2)} ``]

[eqn: THEREFORE S_n = 2over3 + sum _{ k=2} ^{ n} 1 over {k(k+1)(k+2)} ``]

[eqn: = 2over3 + sum _{ k=2} ^{ n} 1over2 left{{1 over {k(k+1)} - 1 over {(k+1)(k+2)} right} ``]

[eqn: = 2 over3 + BOX{`` 1over2 left{ 1over {2 cdot3 } - 1over {(n+1)(n+2)} } right} } ``} ``]

[eqn: = BOX{`` {3n^2 + 9n + 4}over{4(n+1)(n+2)} ``} ``]

따라서

[eqn: f(n) = 1over2 left{ 1over {2 cdot3} - 1over {(n+1)(n+2)} right} ``]

[eqn: g(n) = {3n^2 + 9n + 4}over{4(n+1)(n+2)} ``]

이므로

[eqn: f(2) = 1over 24 `], [eqn: g(1) = 2over3 `]

[eqn: THEREFORE g(1) overf(2) = 16]

[eqn: na_n = b_n ``]이라 하면

[eqn: b_1 + b_2 + b_3 + cdots + b_n = {n+1} over {n+2} ``]

이므로 [eqn: n=1`]이면 [eqn: b_1 = a_1 = 2over3 ``]

또한 [eqn: n ge 2 ``]일 때

[eqn: n a_n = b_n = ( b_1 + b_2 + b_3 + cdots + b_n ) - ( b_1 + b_2 + b_3 + cdots + b_n-1 ) ``]

[eqn: = 1 over {(n+1)(n+2)} ``]

[eqn: THEREFORE a_n = 1 over {n(n+1)(n+2)} ``]

[eqn: THEREFORE S_n = a_1 + sum _{ k=2} ^{ n} 1 over {k(k+1)(k+2)} ``]

[eqn: = a_1 + sum _{ k=2} ^{ n} 1over2 left{{1 over {k(k+1)} - 1 over {(k+1)(k+2)} right} ``]

[eqn: = a_1 + BOX{~~㈎~~} ``]

[eqn: = BOX{~~㈏~~} ``]

위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n) `], [eqn: g(n) `]이라 할 때, [eqn: g(1) over f(2) `]의 값은?

[4점][2012년 4월 대성 월례]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]

④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

함수 [eqn: f(x)= root {3} of {x^2} (x-1) ``]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?

[정답] ⑤

ㄱ. [eqn: f prime (x)= {2(x-1)} over {3root {3} of {x}} + root {3} of {x^2} = {5x-2} over {3root {3} of {x}} ``]

[eqn: THEREFORE lim _{ x -> -inf} {f prime(x) } = inf ``] (참)

ㄴ. [eqn: f prime (x) = 0 `]에서 [eqn: x = 2over5 `]

또, [eqn: x=0`]에서 [eqn: f(x)`]는 미분가능하지 않다.

[eqn: x``]	[eqn: - inf]	[eqn: cdots``]	[eqn: 0``]	[eqn: cdots``]	[eqn: 2over5]	[eqn: cdots``]	[eqn: inf]
[eqn: f prime (x)``]		[eqn: +``]		[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +``]
[eqn: f(x)``]	[eqn: - inf]	↗	극대	↘	극소	↗	[eqn: inf]

즉, [eqn: x=0, ````2over5 ``] 좌우에서 [eqn: f prime (x) `]의 부호를 조사하면 다음과 같다.

[eqn: x=0`]일 때 극댓값

[eqn: f(0) = 0 `]

[eqn: x = 2over5 `]일 때 극솟값

[eqn: f left( 2over5 right ) = - 3over5 root {3} of {4over25} ``]

즉, 함수 [eqn: f(x)`]는 극값을 [eqn: 2]개 갖는다. (참)

ㄷ. [eqn: f prime prime (x)= {15 root {3}of {x} - (5x-2) x^{- 2over3}} over {9 root {3} of {x^2}} ``]

[eqn: = 2(5x+1) over {9x root {3} of {x}} ``]

즉, [eqn: x= - 1over5 `]에서 함수 [eqn: f(x)`]는 변곡점을 갖는다. (참)

따라서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다.

[보 기]

ㄱ. [eqn: lim _{ n->-inf } {f prime (x) = inf} ``]

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)`]는 극값을 [eqn: 2`]개 갖는다.

ㄷ. [eqn: x<0 `]에서 함수 [eqn: f(x)`]의 변곡점이 존재한다.

[4점][2012년 4월 대성 월례]

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rm P`]가 있다. [eqn: t`]초 후의 위치 [eqn: {rm P} (x,````y) ``]에 대하여 [eqn: x=t `], [eqn: y = 10t - 5t^2 ``]이다. 점 [eqn: rm P]가 원점을 출발한 후 처음으로 [eqn: x`]축과 만날 때, 점 [eqn: rm P`]의 속도의 크기는?

[정답] ④

[eqn: dx over dt = 1 `], [eqn: dy over dt = 10-10t ``]이므로 시간 [eqn: t`]에서의 점 [eqn: {rm P} (x,````y) ``]의 속도의 크기는

[eqn: root {{left( dx over dt right)}^2 + {left( dy over dt right)}^2 } = root {1+100(1-t)^2} ``]

한편, 점 [eqn: rm P `]가 원점을 출발한 후 처음으로 [eqn: x`]축과 만날 때,

[eqn: y= 10t - 5t^2 = 0 ``]에서 [eqn: t= 2 `]

따라서 구하는 점 [eqn: rm P `]의 속도의 크기는 [eqn: root{101} `]이다.

[4점][2012년 4월 대성월례]

① [eqn: 1]	② [eqn: root99]	③ [eqn: 10]

④ [eqn: root101]	⑤ [eqn: 11]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: root3 `]인 정삼각형 [eqn: rm ABC``]와 그 외접원이 있다. 점 [eqn: rm`P``]가 선분 [eqn: rm`AB``]에 대하여 점 [eqn: rm`C`]의 반대편 원주의 호 [eqn: rm AB `]위를 움직일 때, [eqn: 2 rm bar{AP} + 3 bar{BP} ``]의 최댓값은?

[정답] ④

정삼각형 [eqn: rm ABC `]의 한 변의 길이가 [eqn: root3 `]이므로 외접원의 반지름의 길이를 [eqn: R `]이라 하면 사인법칙에 의하여

[eqn: root3 over {sin pi over 3} = 2R ``]   [eqn: THEREFORE R = 1`]

[eqn: {rm angle BAP} = theta ``] [eqn: left( 0 le theta le pi over 3 right )]라 하면

[eqn: {rm angle APB} = 2over3 pi ``] [eqn: ( BECAUSE {rm angle APB + angle ACB} = pi ) ``]

이고, [eqn: {rm angle ABP} = piover3 - theta ``]이므로 삼각형 [eqn: rm PAB `]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {rm bar{AP}} = 2 R sin(angle rm ABP ) ``]

[eqn: = 2 sin left( pi over 3 - theta right ) = 2 left ( root 3 over 2 ` cos` theta - 1over2` sin` theta right) ``]

[eqn: = root3` costheta- sin theta ``]

[eqn: {rm bar{BP}} = 2 R sin(angle rm BAP ) = 2 sin theta``]

[eqn: THEREFORE 2 bar {rm AP} + 3 bar{rm BP} = 4` sin theta + 2root3` cos theta ``]

[eqn: = root{4^2 + (2root3 )^2 }` sin (theta + alpha ) ``]

[eqn: = 2root{7}` sin (theta + alpha ) ``]

[eqn: left( 단, ```` sin alpha = root {3 over 7} , ```` cos alpha = 2 over root7 right) ``]

따라서 구하는 [eqn: 2 bar {rm AP} +3 bar{rm BP} ``]의 최댓값은 [eqn: 2 root7 `]이다.

[4점][2012년 4월 대성월례]

① [eqn: root22]	② [eqn: 2 root6]	③ [eqn: root 26]

④ [eqn: 2 root7]	⑤ [eqn: root30]

그림과 같이 점 [eqn: rmO``]를 중심으로 하고 길이가 [eqn: 4``]인 선분 [eqn: rm AB`]를 지름으로 하는 반원이 있다. 이 반원의 내부에 [eqn: rm bar{AC} =1``]인 점 [eqn: rmC`]를 잡고, 삼각형 [eqn: rmABC`]의 내접원의 중심을 [eqn: rmO'`]이라 하자. 선분 [eqn: rmAO'`]의 연장선과 선분 [eqn: rmBC`]의 교점을 [eqn: rmN`,`] 반원과의 교점을 [eqn: rmP`]라 하고, 선분 [eqn: rmBC`]의 중점을 [eqn: rmM`,`] 선분 [eqn: rmAM`]의 연장선과 선분 [eqn: rmBP`]의 교점을 [eqn: rmQ`]라 하자. [eqn: rm vec{AB} = it vec{b} ,~ rm vec{AC} it = vec{c} ``]라 하면
[eqn: rm vec{AM} it =x LEFT ( vec{b} + vec{c} RIGHT ) ,~ rm vec{AN} BULLET vec{BQ} = it y,~ rm vec{AQ} = it z rm vec{AM}]
이 성립할 때, [eqn: 10 LEFT ( x+y+z RIGHT ) ``]의 값은?

[정답] ③

[eqn: rm vec{AB} = it vec{b} ,~ rm vec{AC} it = vec{c} ``]이고, 선분 [eqn: rmBC`]의 중점이 [eqn: rmM`]이므로

[eqn: rm vec{AM} it = {1} over {2} rm LEFT ( vec{AB} + vec{AC} ` RIGHT ) = it {1} over {2} vec{b} + {1} over {2} vec{c} = {1} over {2} LEFT ( vec{b} + vec{c} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ``x= {1} over {2}]

[eqn: rm bar{AB} `]는 원의 지름이고, [eqn: rm ANGLE APB=90°`]이므로

[eqn: rm vec{AN} BULLET vec{BQ} =0]

[eqn: THEREFORE ``y=0]

[eqn: rm vec{AQ} = it z rm vec{AM} ``]이므로

[eqn: rm vec{AN} BULLET vec{BQ} =0]

[eqn: LRARROW ~ rm vec{AN} BULLET LEFT ( vec{AQ} - vec{AB} RIGHT ) =0]

[eqn: LRARROW ~ rm vec{AN} BULLET LEFT ( it z rm vec{AM} - vec{AB} RIGHT ) =0]	[eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

이때 삼각형 [eqn: rmABC`]에서 [eqn: rm bar{AN} `]은 [eqn: rm ANGLE CAB`]의 이등분선이므로

[eqn: rm bar{BA} `:` bar{AC} = bar{BN} `:` bar{NC} =4`:`1]

[eqn: THEREFORE `` rm vec{AN} = {1} over {5} vec{AB} + {4} over {5} vec{AC} = it {1} over {5} vec{b} + {4} over {5} vec{c}]

㉠에서

[eqn: LEFT ( {1} over {5} vec{b} + {4} over {5} vec{c} RIGHT ) BULLET LEFT { z LEFT ( {1} over {2} vec{b} + {1} over {2} vec{c} RIGHT ) - vec{b} RIGHT } =0]

[eqn: LEFT ( vec{b} +4 vec{c} RIGHT ) BULLET LEFT { LEFT ( z-2 RIGHT ) vec{b} +z vec{c} RIGHT } =0]

[eqn: LEFT ( z-2 RIGHT ) LEFT | ` vec{b} ` RIGHT | ^{2} +z vec{b} BULLET vec{c} +4 LEFT ( z-2 RIGHT ) vec{b} BULLET vec{c} +4z LEFT | ` vec{c} ` RIGHT | ^{2} =0]

[eqn: LEFT ( 5z-8 RIGHT ) vec{b} BULLET vec{c} +4 LEFT ( 5z-8 RIGHT ) =0] [eqn: left(BECAUSE `` LEFT | ` vec{b} ` RIGHT | =4,~ LEFT | ` vec{c} ` RIGHT | =1 right)]

[eqn: THEREFORE `` LEFT ( 5z-8 RIGHT ) LEFT ( vec{b} BULLET vec{c} +4 RIGHT ) =0]

따라서 [eqn: vec{b} BULLET vec{c} `>0``]에서 [eqn: z= {8} over {5} ``]이므로

[eqn: rm vec{AQ} = {8} over {5} vec{AM}]

[eqn: THEREFORE ``10 LEFT ( x+y+z RIGHT ) =10 LEFT ( {1} over {2} +0+ {8} over {5} RIGHT ) =21]

[4점][2012년 4월 대성월례]

① [eqn: 17]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 21]

④ [eqn: 23]	⑤ [eqn: 25]

자연수 [eqn: r``]에 대하여 [eqn: {} _{4} rm H _{it r rm} + _{3} rm H _{it r+1 rm} = it rm _{7} rm C _{3} ``]일 때, [eqn: {} _{3} {rmH} _{r} ``]의 값을 구하여라.

[정답] [eqn: 10]

[eqn: rm _{4} H _{it r} + _{3} rm H _{it r+1 rm} = _{3+ it r rm} C _{it r rm} + _{3+ it r rm} C _{it r+1 rm} = _{4+ it r rm} C _{it r+1 rm} ``]이므로

[eqn: {} _{4+r} rm C _{it r+1 rm} = _{7} C _{3} ~~~ THEREFORE `` it r=3]

[eqn: THEREFORE `` _{3} rmH _{itr} = _{3} rmH _{3} = _{5} C _{3} =10]

[3점][2012년 4월 대성월례]

[eqn: sqrt {3}` sin theta +cos` theta =1`]일 때, [eqn: 100`cos` theta `cos`2 theta ``]의 값을 구하시오.

[정답] [eqn: 25]

[eqn: sqrt {3} `sin theta +cos` theta =2 LEFT ( {sqrt {3}} over {2} `sin theta + {1} over {2} `cos` theta RIGHT )]

[eqn: =2`sin LEFT ( theta + {pi } over {6} RIGHT ) =1`]

이므로

[eqn: sin LEFT ( theta + {pi } over {6} RIGHT ) = {1} over {2}]

[eqn: theta + {pi } over {6} =n pi + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} {pi } over {6}]

[eqn: THEREFORE `` theta =n pi + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} {pi } over {6} - {pi } over {6}]

그런데 [eqn: {pi } over {2} < theta < pi ``]이므로 [eqn: n=1``]이고 [eqn: theta = {2} over {3} pi ``]이다.

[eqn: THEREFORE ``100`cos` theta `cos`2 theta =100`cos` {2} over {3} pi `cos` {4} over {3} pi]

[eqn: =100 TIMES LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) TIMES LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) =25]

[eqn: LEFT ( 단,~ {pi } over {2} < theta < pi RIGHT )]

[3점][2012년 4월 대성월례]

좌표평면에서 타원 [eqn: {x ^{2}} over {4n ^{2}} + {3y ^{2}} over {4n ^{2}} =1`]의 한 꼭짓점 [eqn: rm A it LEFT ( -2n,~0 RIGHT ) ``]과 타원 위의 점 [eqn: LEFT ( n,~n RIGHT ) ``]에서 그은 접선 [eqn: l] 사이의 거리를 [eqn: d``]라 하자. [eqn: d GEQ 60``]을 만족시키는 자연수 [eqn: n``]의 최솟값을 구하시오.

[정답] [eqn: 32]

점 [eqn: LEFT ( n,~n RIGHT ) ``]에서 그은 접선의 방정식은

[eqn: {nx} over {4n ^{2}} + {3ny} over {4n ^{2}} =1]

[eqn: THEREFORE ``l``:`x+3y=4n]

이때, 점 [eqn: rm A it LEFT ( -2n,~0 RIGHT ) ``]과 접선 [eqn: l] 사이의 거리 [eqn: d``]는

[eqn: d= {LEFT | `-2n-4n` RIGHT |} over {sqrt {1+9}} = {6n} over {sqrt {10}}]

이므로 [eqn: d GEQ 60``]에서

[eqn: {6n} over {sqrt {10}} GEQ 60~~~ THEREFORE ``n GEQ 10 sqrt {10}]

따라서 [eqn: n ^{2} GEQ 1000``]에서 [eqn: n GEQ 32``]이므로 구하는 자연수 [eqn: n``]의 최솟값은 [eqn: 32``]이다.

[3점][2012년 4월 대성월례]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]에 대하여 [eqn: a _{1} =2``]이고,
[eqn: a _{1} a _{2} a _{3} CDOTS a _{10} =2 ^{20} ,~a _{n} ` ^{2} =a _{n-1} cdota _{n+1} `` LEFT ( n GEQ 2 RIGHT ) `]
이 성립할 때, [eqn: a _{n} >2 ^{10} ``]을 만족시키는 자연수 [eqn: n``]의 최솟값을 구하시오. (단, [eqn: a _{n} ``]은 [eqn: a _{n} != 0``]인 실수이다.)

[정답] [eqn: 42]

[eqn: a _{n} ` ^{2} =a _{n-1} cdota _{n+1} ``]을 만족하므로 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``]은 등비수열이다.

[eqn: a _{n} =2r ^{n-1} ``]이라 하면 [eqn: a _{1} a _{2} a _{3} CDOTS a _{n} =2 ^{20} ``]에서

[eqn: 2 cdot 2r cdot 2r ^{2} CDOT CDOTS CDOT 2r ^{9} =2 ^{20}]

[eqn: 2 ^{10} CDOT r ^{1+2+ CDOTS +9} =2 ^{20}]

[eqn: r ^{45} =2 ^{10}]

[eqn: THEREFORE ``r=2 ^{{2} over {9}}]

즉, [eqn: a _{n} =2cdot2 ^{{2} over {9} LEFT ( n-1 RIGHT )} ``]이므로 [eqn: a _{n} >2 ^{10} ``]에서

[eqn: 2cdot2 ^{{2} over {9} LEFT ( n-1 RIGHT )} >2 ^{10}]

[eqn: {2} over {9} LEFT ( n-1 RIGHT ) >9]

[eqn: THEREFORE ``n>41.5]

따라서 구하는 자연수 [eqn: n``]의 최솟값은 [eqn: 42``]이다.

[3점][2012년 4월 대성월례]

좌표공간에 점 [eqn: A`(``0,``-1,``sqrt3}``)``]이 있고, [eqn: xy``]평면 위에 타원 [eqn: x^{2}over4}+y^{2}=1``]이 있다. 타원 위의 점 [eqn: P``]에 대하여 [eqn: sqrt3}timesbar{AP``]의 최댓값을 구하시오.

[정답] [eqn: 5``]

점 [eqn: A(``0,``-1,``sqrt3``)``]에서 [eqn: xy]평면에 내린 수선의 발을 [eqn: A``']이라 하면 [eqn: bar{AA``'}=sqrt3``]이므로

[eqn: {bar{AP``}}``^{2}={bar{AA``'}}``^{2}+{bar{A``'P``}}``^{2}=3+{bar{A``'P``}}``^{2}]

이 성립한다.

여기서 [eqn: A``'(``0,````-1,````0``)]이고, [eqn: 0 le theta le 2pi``]인 [eqn: theta``]에 대하여
[eqn: P``(``2``cos theta,````sin theta,````0``)``]이므로

[eqn: {bar{A``'P``}}``^{2}=4``cos^{2}``theta+{(sin theta+1)^{2}]

[eqn: =4(1-sin^{2} theta)``+``sin^{2}theta``+``2``sin theta+1]

[eqn: =-3`sin^{2}theta``+``2``sintheta``+``5``]

[eqn: =-3 left(``sin theta``-`{1over3} right)^{2}``+``{{16 over 3]       ( 단, [eqn: -1 le sin theta le1])

즉, [eqn: {bar {A``'P````}}^{2}]의 값은 [eqn: sin``theta= {1 over3``]일 때, 최댓값 [eqn: 16 over3``]을 갖는다.

그러므로, [eqn: {bar{AP````}}^{2}]의 최댓값은 [eqn: 3+{{16over3}={25over3}``]이며, 이때 [eqn: bar {AP``}``]는 최댓값 [eqn: 5 oversqrt3``]를 갖는다.

따라서, 구하는 [eqn: sqrt3} times{bar{AP``}``]의 최댓값은 [eqn: 5``]이다.

[4점][2012년 4월 대성월례]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1``]이고, 중심각의 크기가 [eqn: theta``][eqn: (``0<theta< pi``)``]인 부채꼴 [eqn: AOB``]가 있다. 이 부채꼴의 호 [eqn: AB``]와 현 [eqn: AB``]에 동시에 접하는 원 중에서 반지름의 길이가 가장 큰 원의 둘레의 길이를 [eqn: l(theta)``]라 하자. [eqn: lim _{theta -> +0} {} `` pi ^{``2} CDOT {theta^{``3}cdot bar{AB``}}overleft{l(theta) right }^{2}]의 값을 구하시오.
[4점][2012년 4월 대성월례]

[정답] [eqn: 64]

아래 그림에서 원의 반지름의 길이를 [eqn: r``]이라 하면

[eqn: cos``{theta over2}``+``2r``=``1]

[eqn: therefore``r=``{1over2} left(``1-cos``{theta over2} ``right )]

[eqn: therefore``l(``theta``)=2``pi``r= pi left( 1-cos {thetaover2} ``right),``````bar{AB``}=2``sin{theta over2}]

[eqn: therefore] [eqn: lim _{theta -> +0} {} `` pi ^{``2} CDOT {theta^{``3}cdot bar{AB``}}overleft{l(theta) right }^{2}]

[eqn: =lim _{theta -> +0} {} `` pi ^{``2} CDOT {theta^{``3}cdot 2``sin{theta over2}} over {pi``^{2} ``left(1-cos{thetaover2 right)^{2}]

[eqn: =2``lim _{theta -> +0} ``{theta``^{3}cdot sin{theta over2} ``left( 1+cos`` {theta over2`` right)^{2}} }over{left( 1-cos`` {theta over2`` right)^{2}} left( 1+cos`` {theta over2`` right)^{2}} }``]

[eqn: =``8 lim_theta->+0``{{ theta``^{3} cdot sin``{theta over2} } over {left ( sin {thetaover2 right)^{4}``]

[eqn: =``8``lim_{theta->+0``}``{ left( theta over2 right)^{3}cdot 8} over { left ( sin theta over2 right)^{3}``}``=``64]

함수 [eqn: f(``x``)=3x^{2}-4x+3``]에 대하여 함수 [eqn: F(``x``)``]를
[eqn: F(``x``)=int _{0}^{x}f(``t``)dt``]라 하자. 미분가능한 함수 [eqn: g(``x``)``]가 모든 실수 [eqn: x``]에 대하여
[eqn: F(``g(``x``)``)={1over3}F(``x``)]
를 만족시킨다. [eqn: g``'(3)=p``]일 때, [eqn: 35```p``]의 값을 구하시오.

[정답]  [eqn: 30``]

[eqn: f(x)=`3x^{2}-4x+3,] [eqn: F(``x)= int_{0}^{x}f(``t)dt,``][eqn: F(``g``(``x))={1over3}F(``x)``]에서

[eqn: F(``x)= int_{0}^{x}f(``t)dt``]를 [eqn: x``]에 대하여 미분하면

[eqn: F``'(``x)=``f(``x)]

[eqn: F(``g``(``x))={1over3}``F(``x)``]를 미분하면

[eqn: F``'(``g``(``x)) cdotg``'(``x)``={1over3}``F``'(``x)]

[eqn: f(``g``(``x))cdot g``'(``x)={1over3}f`(``x)``]	[eqn: cdotscdots]㉠

㉠에 [eqn: x=3``]을 대입하면

[eqn: f(``g``(``3))cdot g``'(``3)={1over3}f`(``3)``=6``]	[eqn: cdotscdots]㉡

이제 [eqn: g``(``3)``]을 구하면 된다.

또, [eqn: F``(``x)``= int_{0}^{x} (3x^{2}-4x+3) dx``=``x^{3}-2x^{2}+3x]이고,

[eqn: F(``g``(``x))={1over3}F(``x)``]에 [eqn: x=3``]을 대입하면

[eqn: F(``g``(``3))={1over3}F(``3)``=``6]

[eqn: g(``3)=t]라 하면

[eqn: F(``t)=t^{3}-2t^{2}+3t``=6]

[eqn: t^{3}-2t^{2}+3t-6``=0]

[eqn: (``t-2)(``t^{2}+3)=0]

[eqn: therefore``t=2``]

[eqn: f(``2)=7]이고, ㉡ 에서 [eqn: f(``2)cdotg``'(3)``=``6``]이므로

[eqn: 7 cdotg``'(3)``=``6]

[eqn: therefore``g``'(3)``=``p``={6over7]

[eqn: therefore``35``p``=35cdot{6 over7}``=30]

[4점][2012년 4월 대성월례]

그림과 같이 밑면의 반지름의 길이가 [eqn: 5``]인 원기둥이 평면 [eqn: alpha``]위에 놓여 있고, 원기둥의 내부에 중심이 점 [eqn: A``]에고 반지름의 길이가 [eqn: 3``]인 구 [eqn: S``_{1}``]이 원기둥의 밑면과 옆면에 내접하며 놓여있다. 평면 [eqn: alpha``]와 만나는 원기둥의 밑면의 중심을 [eqn: O``]라 할 때, 중심이 [eqn: B``]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2``]인 구 [eqn: S``_{2}``]가 다음 조건을 만족시킨다.

직선 [eqn: AB``]와 평면 [eqn: alpha``]가 이루는 예각의 크기를 [eqn: theta``]라 할 때, [eqn: tan``^{2}``theta={q over p}``]이다. [eqn: p+q``]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.)
[4점][2012년 4월 대성월례]

[정답] [eqn: 25``]

구 [eqn: S``_{1}]과 [eqn: S``_{2}]가 서로 접하므로 선분 [eqn: AB``]의 길이는

[eqn: bar{AB``}``=``2+3``=5]

한편, 구 [eqn: S``_{1}]과 [eqn: S``_{2}]가 모두 원기둥과 접하므로

[eqn: bar{OA``'``}=``5-``3``=``2,````````bar{OB``'``}=``5-``2``=``3]

[eqn: angleA``'OB``'=120 DEG``]이므로 코사인법칙에 의하여

[eqn: {{bar{A``'B``'}}^{2}=``3``^{2}+``2``^{2}``-``2 cdot3 cdot2 cdot left(-{1over2} right)``=``19]

[eqn: therefore`bar{A``'B````'}``=``sqrt{19``]

즉, 직선 [eqn: AB``]와 평면 [eqn: alpha``]가 이루는 예각의 크기 [eqn: theta``]에 대하여

[eqn: cos ``theta``=``{bar {A``'B``'``}over{bar{AB``}}``=``{sqrt19}over5]

[eqn: sin ``theta``=`` sqrt {1- left( {sqrt{19} over5 right)^{2}}}``=``sqrt{6}over5``]

[eqn: therefore`` tan``theta``=``{sqrt6}over {sqrt19}``]

따라서, [eqn: tan``^{2}``theta````=``6over19]이므로

[eqn: p``+``q``=``19``+``6``=``25]

(가) 구 [eqn: S``_{2}``]는 원기둥과 구 [eqn: S``_{1}``]에 모두 접한다.

(나) 두 점 [eqn: A,``B``]의 평면 [eqn: alpha``]위로의 정사영이 각각 [eqn: A``',``B``'``]일때,  [eqn: ANGLE A``'OB``'``=120 DEG``]이다.

자연수 [eqn: a,``b``]에 대하여 곡선 [eqn: y=a``^{x+1}``]과 곡선 [eqn: y=b``^{x}``]이 직선 [eqn: x=t``][eqn: (``t ge1``)``]와 만나는 점을 각각 [eqn: P,``Q``]라 하자. 다음 조건을 만족시키는 [eqn: a,``b``]의 모든 순서쌍 [eqn: (``a,````b``)``]의 개수를 구하시오. 예를 들어 [eqn: a=5,``b=6``]은 다음 조건을 만족시킨다.
[4점][2012년 4월 대성월례]

[정답] [eqn: 16]

i) [eqn: a>b``]일 때,

[eqn: bar{PQ``}]의 최솟값은 [eqn: t=1``]에서 가지므로 [eqn: t=1``]을 대입하면

[eqn: a^{2}-b`` le 8]

이 조건을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (````a,``b``)]는 없다.

ii) [eqn: a=b``]일 때,

[eqn: bar{PQ``}]의 최솟값은 [eqn: t=1``]에서 가지므로 [eqn: t=1``]을 대입하면

[eqn: a^{2}-b``=``a^{2}-a`` le8]

[eqn: a^{2}-a-8 le0]

이 부등식을 만족시키는 [eqn: a``]의 값은 [eqn: 3``]으로 [eqn: 1``]개 이다.

그러므로 순서쌍 [eqn: (````a,``b``)]는 [eqn: (````3,``3``)]으로 [eqn: 1``]개이다.

iii) [eqn: a<b``]일 때,

두 함수 [eqn: y=a``^{x+1},````````y``=b``^{x}``]의 그래프는 [eqn: x>0``]에서 한 점에서 만나므로 [eqn: bar{PQ``} le8]인 [eqn: t``]가 존재한다.

그러므로 순서쌍 [eqn: (````a,`b``)]는

[eqn: (````3,``4``),````(````3,``5``),`` cdots,````(````3,``8``),````(````4,``5``),]

[eqn: (````4,``6``),``cdots``,``(````4,``8``),````(````5,``6``),``cdots,``(````7,``8``)]

로

[eqn: 5+4+3+2+1``=15] (개)

i), ii), iii)에서 구하는 순서쌍 [eqn: (````a,``b``)]의 개수는

[eqn: 0+1+15``=``16] (개)

(가) [eqn: 3 lea le8,``3 leb le8``]

(나) [eqn: t ge1``]인 어떤 실수 [eqn: t``]에 대하여 [eqn: bar{PQ``}le8``]이다.

빠른 정답 찾기

[정답] ④	[정답] ②	[정답] ⑤

[정답] ⑤	[정답]	[정답] ①

[정답] ③	[정답] ④	[정답] ⑤

[정답] ②	[정답] ③	[정답] ④

[정답] ⑤	[정답] ⑤	[정답] ⑤

[정답] ②	[정답] ③	[정답] ⑤

[정답] ④	[정답] ④	[정답] ③

[정답] [eqn: 10]	[정답] [eqn: 25]	[정답] [eqn: 32]

[정답] [eqn: 42]	[정답] [eqn: 5``]	[정답] [eqn: 64]

[정답]  [eqn: 30``]	[정답] [eqn: 25``]	[정답] [eqn: 16]